Linéarisation d'un polynôme trigonométrique - Corrigé

Énoncé

Soit \(x \in \mathbb{R}\) . Linéariser \(g(x)=\sin^5(x)\) .

Solution

 On a :  \(\begin{align*}g(x)=\sin^5(x)=\left(\frac{\text e^{ix}-\text e^{-ix}}{2i}\right)^5=\frac{\left(\text e^{ix}-\text e^{-ix}\right)^5}{(2i)^5}=\frac{\left(\text e^{ix}-\text e^{-ix}\right)^5}{32i}.\end{align*}\)

 D'après la formule du binôme de Newton :
\(\begin{align*}\left(\text e^{ix}-\text e^{-ix}\right)^5& = (\text e^{ix})^5+5(\text e^{ix})^4(-\text e^{-ix})+10(\text e^{ix})^3(-\text e^{-ix})^2\\& \quad +10(\text e^{ix})^2(-\text e^{-ix})^3+5\text e^{ix}(-\text e^{-ix})^4+(-\text e^{-ix})^5\\& = \text e^{5ix}-5\text e^{4ix}\text e^{-ix}+10\text e^{3ix}\text e^{-2ix}\\& \quad -10\text e^{2ix}\text e^{-3ix}+5\text e^{ix}\text e^{-4ix}-\text e^{-5ix}\\& = \text e^{5ix}-5\text e^{3ix}+10\text e^{ix}-10\text e^{-ix}+5e^{-3ix}-\text e^{-5ix}\\& = \left(\text e^{5ix}-\text e^{-5ix}\right)+5\left(\text e^{3ix}-\text e^{-3ix}\right)+10\left(\text e^{ix}-\text e^{-ix}\right).\end{align*}\)

 On en déduit que : 

\(\begin{align*}g(x)& = \frac{\left(\text e^{5ix}-\text e^{-5ix}\right)+5\left(\text e^{3ix}-\text e^{-3ix}\right)+10\left(\text e^{ix}-e^{-ix}\right)}{32i}\\& = \frac{2i\sin(5x)+5 \times 2i\sin(3x)+10 \times 2i\sin(x)}{32i}\\& = \frac{2i\sin(5x)+10i\sin(3x)+20i\sin(x)}{32i}\\& = \frac{1}{16}\sin(5x)+\frac{5}{16}\sin(3x)+\frac{5}{8}\sin(x).\end{align*}\)